Moritz Fürste war Mitglied der deutschen Eishockey-Nationalmannschaft, die bei den Olympischen Spielen 2008 und 2012 Gold gewann. Er gehörte auch zur Weltmeistermannschaft von 2006. Von 1989 bis 2012 war er Kapitän seines Heimatvereins Uhlenhorster Hockey Club in Hamburg und gewann mit diesem dreimal die Euroleague.